Ходжа Н. (hojja_nusreddin) wrote,
Ходжа Н.
hojja_nusreddin

Categories:

В.И. Арнольд, "Статистика первых цифр степеней 2 и передел мира" (Хохляндия обречена математически)

Население стран мира

Лет двадцать назад Н.Н. Константинов сообщил мне, что первые цифры населений стран мира распределены так же, как первые цифры степеней двойки (табл. 2).
Табл. 2

Вот мое тогдашнее объяснение этого факта.
Согласно теории Мальтуса, население каждой страны растет в геометрической прогрессии. Из теоремы Вейля (см. предыдущий раздел) следует, что первые цифры населения фиксированной страны в последовательные годы распределены как первые цифры степеней двойки (см. рис.2). Согласно “эргодической теореме” (или, лучше сказать, согласно эргодическому принципу), временное среднее можно заменить пространственным: распределение по странам в один и тот же год должно совпадать с распределением в одной стране в разные годы.

Для контроля теории я рассмотрел числа страниц в книгах моей библиотеки, длины рек и высоты гор.
Во всех этих случаях доли единиц p(1) и доли девяток p(9) среди первых цифр полученных чисел оказались практически одинаковыми: p(1)/p(9) = 1/9.
Книги, реки и горы не растут в геометрической прогрессии, теория Мальтуса к ним не применима. Поэтому различие статистик первых цифр в числах, выражающих населения и, скажем, длины рек, служит своеобразным косвенным подтверждением формулы Мальтуса (согласно которой население растет в геометрической прогрессии).

Однако лет десять назад М.Б. Севрюк обнаружил, что не только населения, но и площади стран мира подчиняются такому же закону распределения первых цифр, как степени двойки!
К площадям теория Мальтуса, по-видимому, неприменима, так что возник вопрос — как объяснить это поведение площадей. Ниже я пытаюсь дать ответ на этот вопрос.

Площади стран мира

Предыдущие примеры подсказывают, что следует искать причину странного распределения первых цифр площадей стран мира либо в их росте, либо в убывании (в геометрической прогрессии). История мира показывает, что площади стран (особенно империй) иногда растут, а иногда убывают за счет то присоединения одних стран к другим, то распада. Рассмотрим вначале самую примитивную модель этого явления. Предположим, что за единицу времени страна с вероятностью половина делится пополам, а с вероятностью половина присоединяет к себе другую страну такой же площади, как она сама.

Теорема. Распределение дробных долей логарифмов площадей, занимаемых такой случайной страной в момент n, стремится к равномерному распределению на интервале (0, 1) при n, стремящемся к бесконечности.

Иными словами, вероятность того, что первая цифра площади окажется 1, стремится (при n --> бесконечности) к lg(2) = 0,301; ...; что она окажется 9 — примерно к 0,046.

Действительно, рассмотрим последовательность l(n) = lg[S(n)], где S — площадь в момент n. Точка в следующий момент n + 1 с одинаковой вероятностью сдвигается влево или вправо на lg 2 (причем, конечно, выбор, что делать — делиться или объединяться, — в каждый момент времени независим от выбора в другие моменты времени). По законам теории вероятностей, распределение величины l(n) при больших n будет в основном сосредоточено на отрезке большой (порядка √n) длины и будет пологим и симметричным (рис.3). При переходе к дробным долям (т.е. при “наматывании оси l на окружность l mod 1”) из такого распределения на оси l получится почти равномерное (при больших n) распределение на окружности (детали обоснования предоставляются читателю; важно, что последовательность дробных долей чисел m*lg(2) распределена равномерно).

Рис. 3. При наматывании прямой с пологим распределением на окружность
на ней получается почти равномерное распределение.

Имеется множество более сложных моделей передела мира, приводящих в численных экспериментах к такому же эффекту
.
Вероятно, для целых классов таких моделей можно строго доказать предельную равномерность распределения дробных долей логарифмов площадей стран.

Вот несколько примеров.

1. В начальный момент имеется k стран площадей S1, ...,Sk . В каждый последующий момент одна (случайно выбираемая) страна с вероятностью 50% делится, а с вероятностью 50% объединяется с какой-либо (случайно выбранной) страной. Разумеется, выборы, делаемые в разные моменты времени, считаются независимыми и все случайно выбираемые страны равновероятны.
По вычислениям М.В. Хесиной (университет Торонто, июнь 1997) при Si = i, k = 100 распределение первых цифр площадей стран становится практически таким же, как приведенное выше распределение первых цифр степеней двойки, уже через сотню шагов.

2. Введение деления на неравные части с каким-либо законом распределения частей (например, равномерным) приводит к такому же результату.

3. В моделях, где разрешается объединяться лишь с соседями, устанавливается такое же распределение первых цифр. Например, в одной из моделей Ф.Аикарди (Триест, июнь 1997) страны представлялись дугами окружности, а площади — длинами этих дуг. Распределение, практически неотличимое от распределения первых цифр степеней двойки, наступает очень быстро.

4. В другой модели Аикарди мир представляется графом, задающим разбиение сферы на треугольники (n вершин которых представляют n стран и снабжены “площадями”, распределенными на интервале (1, n) по закону случая). Граф строится, начиная с икосаэдра, при помощи итераций такой операции: случайно выбирается треугольная грань, добавляется вершина в ее центре и соединяется со всеми тремя вершинами грани.

Передел мира в этой модели организован так: в каждый момент (1,..., T ) выбирается случайно вершина i и затем с вероятностью p число стран увеличивается на 1 и
с вероятностью 1 – p уменьшается на 1. В первом случае случайно выбирается треугольная грань, содержащая эту вершину i, и вставляется новая вершина в центр грани. Затем эта вершина соединяется со всеми тремя вершинами грани и соответствующая вновь созданная страна получает от страны i долю ее площади (рис. 4).


Рис. 4. Отделение новой страны j от страны i

Во втором случае случайно выбирается соседняя с i вершина j и затем страны i и j объединяются (причем на графе исчезает ребро ij и две разделенные им треугольные грани, рис. 5).


Рис. 5. Слияние стран j и i

В трех экспериментах A,B,C были выбраны следующие значения параметров (табл. 3).

Табл. 3

Средние (по 50 повторениям эксперимента с разными начальными условиями) значения долей единиц,..., девяток среди первых цифр площадей стран оказались такими (табл. 4; в последней строке (D) указаны частоты первых цифр степеней двойки).

Табл. 4

Было бы интересно не только доказать общую теорему, указывающую область применимости равномерного распределения дробных долей логарифмов, но и проверить, подчиняются ли этому распределению, например, размеры компаний и их доходы.

Появление странного распределения первых цифр во многих различных ситуациях неоднократно обсуждалось в литературе. Однако я нигде не встречал каких-либо математических теорем или гипотез (подобных приведенным в настоящей статье), обосновывающих неизбежность появления этого распределения (исключая, разумеется, теорему Вейля).
____________________________________________
http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/01/kv0198arnold.pdf
http://vivovoco.rsl.ru/VV/JOURNAL/QUANTUM/ARNOLD/ARN.HTM
Tags: математика, политолухия, статистика, хохляндия
Subscribe

Posts from This Journal “математика” Tag

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 9 comments