Лет двадцать назад Н.Н. Константинов сообщил мне, что первые цифры населений стран мира распределены так же, как первые цифры степеней двойки (табл. 2).
Табл. 2
Вот мое тогдашнее объяснение этого факта.
Согласно теории Мальтуса, население каждой страны растет в геометрической прогрессии. Из теоремы Вейля (см. предыдущий раздел) следует, что первые цифры населения фиксированной страны в последовательные годы распределены как первые цифры степеней двойки (см. рис.2). Согласно “эргодической теореме” (или, лучше сказать, согласно эргодическому принципу), временное среднее можно заменить пространственным: распределение по странам в один и тот же год должно совпадать с распределением в одной стране в разные годы.
Для контроля теории я рассмотрел числа страниц в книгах моей библиотеки, длины рек и высоты гор.
Во всех этих случаях доли единиц p(1) и доли девяток p(9) среди первых цифр полученных чисел оказались практически одинаковыми: p(1)/p(9) = 1/9.
Книги, реки и горы не растут в геометрической прогрессии, теория Мальтуса к ним не применима. Поэтому различие статистик первых цифр в числах, выражающих населения и, скажем, длины рек, служит своеобразным косвенным подтверждением формулы Мальтуса (согласно которой население растет в геометрической прогрессии).
Однако лет десять назад М.Б. Севрюк обнаружил, что не только населения, но и площади стран мира подчиняются такому же закону распределения первых цифр, как степени двойки!
К площадям теория Мальтуса, по-видимому, неприменима, так что возник вопрос — как объяснить это поведение площадей. Ниже я пытаюсь дать ответ на этот вопрос.
Площади стран мира
Предыдущие примеры подсказывают, что следует искать причину странного распределения первых цифр площадей стран мира либо в их росте, либо в убывании (в геометрической прогрессии). История мира показывает, что площади стран (особенно империй) иногда растут, а иногда убывают за счет то присоединения одних стран к другим, то распада. Рассмотрим вначале самую примитивную модель этого явления. Предположим, что за единицу времени страна с вероятностью половина делится пополам, а с вероятностью половина присоединяет к себе другую страну такой же площади, как она сама.
Теорема. Распределение дробных долей логарифмов площадей, занимаемых такой случайной страной в момент n, стремится к равномерному распределению на интервале (0, 1) при n, стремящемся к бесконечности.
Иными словами, вероятность того, что первая цифра площади окажется 1, стремится (при n --> бесконечности) к lg(2) = 0,301; ...; что она окажется 9 — примерно к 0,046.
Действительно, рассмотрим последовательность l(n) = lg[S(n)], где S — площадь в момент n. Точка в следующий момент n + 1 с одинаковой вероятностью сдвигается влево или вправо на lg 2 (причем, конечно, выбор, что делать — делиться или объединяться, — в каждый момент времени независим от выбора в другие моменты времени). По законам теории вероятностей, распределение величины l(n) при больших n будет в основном сосредоточено на отрезке большой (порядка √n) длины и будет пологим и симметричным (рис.3). При переходе к дробным долям (т.е. при “наматывании оси l на окружность l mod 1”) из такого распределения на оси l получится почти равномерное (при больших n) распределение на окружности (детали обоснования предоставляются читателю; важно, что последовательность дробных долей чисел m*lg(2) распределена равномерно).
Рис. 3. При наматывании прямой с пологим распределением на окружность
на ней получается почти равномерное распределение.
Имеется множество более сложных моделей передела мира, приводящих в численных экспериментах к такому же эффекту.
Вероятно, для целых классов таких моделей можно строго доказать предельную равномерность распределения дробных долей логарифмов площадей стран.
Вот несколько примеров.
1. В начальный момент имеется k стран площадей S1, ...,Sk . В каждый последующий момент одна (случайно выбираемая) страна с вероятностью 50% делится, а с вероятностью 50% объединяется с какой-либо (случайно выбранной) страной. Разумеется, выборы, делаемые в разные моменты времени, считаются независимыми и все случайно выбираемые страны равновероятны.
По вычислениям М.В. Хесиной (университет Торонто, июнь 1997) при Si = i, k = 100 распределение первых цифр площадей стран становится практически таким же, как приведенное выше распределение первых цифр степеней двойки, уже через сотню шагов.
2. Введение деления на неравные части с каким-либо законом распределения частей (например, равномерным) приводит к такому же результату.
3. В моделях, где разрешается объединяться лишь с соседями, устанавливается такое же распределение первых цифр. Например, в одной из моделей Ф.Аикарди (Триест, июнь 1997) страны представлялись дугами окружности, а площади — длинами этих дуг. Распределение, практически неотличимое от распределения первых цифр степеней двойки, наступает очень быстро.
4. В другой модели Аикарди мир представляется графом, задающим разбиение сферы на треугольники (n вершин которых представляют n стран и снабжены “площадями”, распределенными на интервале (1, n) по закону случая). Граф строится, начиная с икосаэдра, при помощи итераций такой операции: случайно выбирается треугольная грань, добавляется вершина в ее центре и соединяется со всеми тремя вершинами грани.
Передел мира в этой модели организован так: в каждый момент (1,..., T ) выбирается случайно вершина i и затем с вероятностью p число стран увеличивается на 1 и
с вероятностью 1 – p уменьшается на 1. В первом случае случайно выбирается треугольная грань, содержащая эту вершину i, и вставляется новая вершина в центр грани. Затем эта вершина соединяется со всеми тремя вершинами грани и соответствующая вновь созданная страна получает от страны i долю ее площади (рис. 4).
Рис. 4. Отделение новой страны j от страны i
Во втором случае случайно выбирается соседняя с i вершина j и затем страны i и j объединяются (причем на графе исчезает ребро ij и две разделенные им треугольные грани, рис. 5).
Рис. 5. Слияние стран j и i
В трех экспериментах A,B,C были выбраны следующие значения параметров (табл. 3).
Табл. 3
Средние (по 50 повторениям эксперимента с разными начальными условиями) значения долей единиц,..., девяток среди первых цифр площадей стран оказались такими (табл. 4; в последней строке (D) указаны частоты первых цифр степеней двойки).
Табл. 4
Было бы интересно не только доказать общую теорему, указывающую область применимости равномерного распределения дробных долей логарифмов, но и проверить, подчиняются ли этому распределению, например, размеры компаний и их доходы.
Появление странного распределения первых цифр во многих различных ситуациях неоднократно обсуждалось в литературе. Однако я нигде не встречал каких-либо математических теорем или гипотез (подобных приведенным в настоящей статье), обосновывающих неизбежность появления этого распределения (исключая, разумеется, теорему Вейля).
____________________________________________
http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/01/kv0198arnold.pdf
http://vivovoco.rsl.ru/VV/JOURNAL/QUANTUM/ARNOLD/ARN.HTM
